Probleme de Șiruri de numere reale — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 688 probleme cu rezolvări complete
Teorie Șiruri de numere reale — Formule si exemple rezolvate

Șirurile de numere reale sunt funcții definite pe mulțimea numerelor naturale. Include convergență, limite de șiruri și criterii de convergență.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

127

probleme

Mediu

272

probleme

Grile de Șiruri de numere reale

289 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieți suma ca 1n2∑k=1n−1k\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}k.
24 puncte
Folosiți formula ∑k=1n−1k=(n−1)n2\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2} și obțineți expresia n−12n\frac{n-1}{2n}.
33 puncte
Calculați limita lim⁡n→∞n−12n=12\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observăm că suma din paranteză este 1+2+⋯+(n−1)n2+1=n(n−1)2n2+1\dfrac{1+2+\dots+(n-1)}{n^2+1}=\dfrac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{n^2+1}.
26 puncte
Calculăm limita lim⁡n→∞n(n−1)2(n2+1)=lim⁡n→∞n2−n2n2+2=12\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(n-1)}{2(n^2+1)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n}{2n^2+2}=\dfrac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculați suma din numitor: ∑k=n+12nk=2n(2n+1)2−n(n+1)2=3n2+n2\sum_{k=n+1}^{2n} k = \dfrac{2n(2n+1)}{2} - \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n^2 + n}{2}.
26 puncte
Împărțiți numărătorul și numitorul la n2n^2 și luați limita: 2+1n−1n232+12n=4+2n−2n23+1n→43\dfrac{2 + \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n^2}}{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2n}} = \dfrac{4 + \tfrac{2}{n} - \tfrac{2}{n^2}}{3 + \tfrac{1}{n}} \to \dfrac{4}{3}. Răspuns: 43\dfrac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați șirul an=n22na_n=\frac{n^2}{2^n}. Calculați raportul an+1an=(n+1)22n2=12(1+1n)2\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}=\frac12\left(1+\frac1n\right)^2; limita acestui raport când n→∞n\to\infty este 12<1\tfrac12<1.
24 puncte
Din faptul că raportul succesiunii tinde la o valoare mai mică decât 1 rezultă că există NN și c<1c<1 astfel încât pentru orice n≥Nn\ge N avem an+1≤c ana_{n+1}\le c\,a_n, deci ana_n este majorat de un șir geometric care tinde la 0.
33 puncte
Concluzie: lim⁡n→∞n22n=0\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞2nn!\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerați șirul bn=2nn!b_n=\frac{2^n}{n!}. Calculați raportul bn+1bn=2n+1\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2}{n+1}; acest raport tinde la 0 când n→∞n\to\infty și pentru n≥2n\ge 2 este mai mic sau egal cu 1.
23 puncte
Pentru nn suficient de mare raportul este strict mai mic decât 1, deci bnb_n scade (până la un indice finit) și este dominat de un șir geometric cu rația <1<1, care tinde la 0.
33 puncte
Concluzie: lim⁡n→∞2nn!=0\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Șiruri de numere reale
Calculați limita: lim⁡n→∞n!nn\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n}.
Ușor#7Șiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞4+3n+n631+3n+2n2\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{4 + 3n + n^6}}{1 + 3n + 2n^2}.
Mediu#8Șiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.
Mediu#9Șiruri de numere realeNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} definit prin zn=(1+i)n+(1−i)n2nz_n = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2^n}. Demonstrați că znz_n este un șir de numere reale și calculați limita sa când n→∞n \to \infty.
Mediu#10Șiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=12a_1 = \frac{1}{2} și an+1=an1+ana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Să se arate că șirul este convergent și să i se calculeze limita.

Și alte 389 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Accesează toate cele 688 probleme de Șiruri de numere reale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Aplicații ale derivatelor
536 probleme
→Asimptote
401 probleme
→Continuitate
399 probleme
→Derivate
497 probleme
→Determinanți
564 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.