MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=ln⁡(1+xn)x_{n+1} = \ln(1 + x_n) pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul este descrescător și mărginit. b) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n. c) Estimați valoarea lui x10x_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru a) Prin inducție, arătăm că xn>0x_n > 0 pentru orice nn. Din inegalitatea ln⁡(1+x)<x\ln(1+x) < x pentru x>0x > 0, avem xn+1=ln⁡(1+xn)<xnx_{n+1} = \ln(1+x_n) < x_n, deci șirul este descrescător. Șirul este mărginit inferior de 0.
23 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior, deci este convergent.
32 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, L=ln⁡(1+L)L = \ln(1+L), deci eL=1+Le^L = 1+L. Această ecuație are soluția unică L=0L=0, deoarece pentru L>0L>0, eL>1+Le^L > 1+L, iar L=0L=0 verifică.
42 puncte
Pentru c) Deoarece șirul este descrescător și lim⁡xn=0\lim x_n = 0, putem estima x10x_{10} calculând câțiva termeni: x1=1x_1=1, x2=ln⁡(2)≈0.693x_2=\ln(2) \approx 0.693, x3=ln⁡(1.693)≈0.526x_3=\ln(1.693) \approx 0.526, etc. O estimare este x10∈(0,0.1)x_{10} \in (0, 0.1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.