MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=ln⁡(an+1)a_{n+1} = \ln(a_n + 1) pentru orice n≥1n \geq 1, unde ln⁡\ln este logaritmul natural. Să se arate că șirul este convergent și să i se afle limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că 0<an≤20 < a_n \leq 2 pentru orice n≥1n \geq 1, deci șirul este mărginit.
23 puncte
Se arată că șirul este strict descrescător, folosind inegalitatea ln⁡(x+1)<x\ln(x+1) < x pentru x>0x > 0.
34 puncte
Fiind mărginit și monoton, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, se obține L=ln⁡(L+1)L = \ln(L+1). Rezolvând ecuația, se găsește L=0L = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.