MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Un șir geometric are primul termen b1=5b_1 = 5 și rația q=12q = \frac{1}{2}. Calculați suma infinită a șirului și determinați cel mai mic număr natural nn pentru care bn<0.01b_n < 0.01.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Aplicați formula sumei unei progresii geometrice infinite convergente: S=b11−q=51−12=10S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{5}{1-\frac{1}{2}} = 10.
26 puncte
Scrieți termenul general bn=b1⋅qn−1=5⋅(12)n−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}. Rezolvați inecuația 5⋅(12)n−1<0.015 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.01, adică (12)n−1<0.002\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.002. Luați logaritmi: (n−1)⋅ln⁡(12)<ln⁡(0.002)(n-1) \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) < \ln(0.002). Deoarece ln⁡(12)<0\ln\left(\frac{1}{2}\right) < 0, inecuația devine n−1>ln⁡(0.002)ln⁡(0.5)n-1 > \frac{\ln(0.002)}{\ln(0.5)}. Calculați: ln⁡(0.002)ln⁡(0.5)≈8.97\frac{\ln(0.002)}{\ln(0.5)} \approx 8.97, deci n>9.97n > 9.97, și cel mai mic nn natural este 1010.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.