MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatematică financiară
Un investitor depune 5000 de lei într-un fond cu randament anual dat de șirul (rn)n≥1(r_n)_{n \geq 1} cu rn=1n+1r_n = \frac{1}{n+1}. Valoarea investiției după nn ani este Vn=5000∏k=1n(1+rk)V_n = 5000 \prod_{k=1}^{n} (1 + r_k). Calculați lim⁡n→∞Vn\lim_{n \to \infty} V_n și studiați natura șirului (Vn)(V_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că 1+rk=1+1k+1=k+2k+11 + r_k = 1 + \frac{1}{k+1} = \frac{k+2}{k+1}, deci Vn=5000∏k=1nk+2k+1V_n = 5000 \prod_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k+1}.
23 puncte
Produsul telescopează: ∏k=1nk+2k+1=32⋅43⋅...⋅n+2n+1=n+22\prod_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k+1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot ... \cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{n+2}{2}.
33 puncte
Atunci Vn=5000⋅n+22=2500(n+2)V_n = 5000 \cdot \frac{n+2}{2} = 2500(n+2). Limita lim⁡n→∞Vn=∞\lim_{n \to \infty} V_n = \infty, prin urmare șirul (Vn)(V_n) este divergent.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.