MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceMatematică financiară
O persoană depune la o bancă suma inițială de 1000 de lei, cu o dobândă anuală compusă de 5%. După fiecare an, dobânda se adaugă la sumă. a) Să se determine suma disponibilă după nn ani. b) După câți ani suma depășește 1500 de lei? c) Dacă după fiecare an, persoana adaugă încă 100 de lei la depozit, să se găsească o formulă pentru suma după nn ani.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Suma după nn ani este dată de formula dobânzii compuse: Sn=1000⋅(1.05)nS_n = 1000 \cdot (1.05)^n. Aceasta reprezintă un șir geometric cu rația 1.051.05.
23 puncte
Pentru a afla după câți ani suma depășește 1500 de lei, rezolvăm inecuația 1000⋅(1.05)n>15001000 \cdot (1.05)^n > 1500, adică (1.05)n>1.5(1.05)^n > 1.5. Aplicăm logaritmul natural: n⋅ln⁡(1.05)>ln⁡(1.5)n \cdot \ln(1.05) > \ln(1.5), deci n>ln⁡(1.5)ln⁡(1.05)n > \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.05)}. Calculăm: ln⁡(1.5)≈0.4055\ln(1.5) \approx 0.4055, ln⁡(1.05)≈0.0488\ln(1.05) \approx 0.0488, deci n>8.31n > 8.31. Cum nn este număr natural, n=9n=9.
34 puncte
Pentru cazul c, notăm TnT_n suma după nn ani. Avem T0=1000T_0 = 1000 și pentru n≥0n \geq 0, Tn+1=1.05Tn+100T_{n+1} = 1.05 T_n + 100. Aceasta este o relație de recurență liniară. Căutăm soluția sub forma Tn=A⋅1.05n+BT_n = A \cdot 1.05^n + B, unde BB este o soluție particulară constantă. Din B=1.05B+100B = 1.05 B + 100, obținem B=−2000B = -2000. Din condiția inițială T0=1000T_0 = 1000, avem A+B=1000A + B = 1000, deci A=3000A = 3000. Astfel, Tn=3000⋅1.05n−2000T_n = 3000 \cdot 1.05^n - 2000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.