MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiProgresii Geometrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=ea_1 = e și an+1=an2/3a_{n+1} = a_n^{2/3} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (bn)(b_n) cu bn=ln⁡(an)b_n = \ln(a_n) este o progresie geometrică. Studiați convergența șirului (an)(a_n) și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se definește bn=ln⁡(an)b_n = \ln(a_n). Atunci bn+1=ln⁡(an+1)=ln⁡(an2/3)=23ln⁡(an)=23bnb_{n+1} = \ln(a_{n+1}) = \ln(a_n^{2/3}) = \frac{2}{3} \ln(a_n) = \frac{2}{3} b_n.\n
23 puncte
Șirul (bn)(b_n) este o progresie geometrică cu rația q=23q = \frac{2}{3} și termenul inițial b1=ln⁡(e)=1b_1 = \ln(e) = 1. Astfel, bn=1⋅(23)n−1b_n = 1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}.\n
33 puncte
Avem an=ebn=e(23)n−1a_n = e^{b_n} = e^{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}. Deoarece (23)n−1→0\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \to 0 când n→∞n \to \infty și funcția exponențială este continuă, rezultă că an→e0=1a_n \to e^0 = 1.\n
42 puncte
Limita șirului (an)(a_n) este 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.