MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Un șir (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} este definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+32a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa. Apoi, determinați cel mai mic număr natural NN astfel încât ∣an−L∣<0.01|a_n - L| < 0.01 pentru orice n≥Nn \geq N, unde LL este limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se arată prin inducție matematică că șirul este descrescător (deoarece an+1−an=3−an2a_{n+1} - a_n = \frac{3 - a_n}{2} și an>0a_n > 0) și mărginit inferior de 00, deci convergent.
23 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, se obține L=L+32L = \frac{L + 3}{2}, de unde L=3L = 3.
34 puncte
Se determină formula explicită a termenului general: prin inducție, an=3−12n−1a_n = 3 - \frac{1}{2^{n-1}}. Atunci ∣an−3∣=12n−1|a_n - 3| = \frac{1}{2^{n-1}}. Se rezolvă inecuația 12n−1<0.01\frac{1}{2^{n-1}} < 0.01, adică 2n−1>1002^{n-1} > 100. Cum 26=642^6 = 64 și 27=1282^7 = 128, avem n−1≥7n-1 \geq 7, deci n≥8n \geq 8. Astfel, cel mai mic NN este 88.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.