Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeLogaritmi
Se consideră o progresie aritmetică (an)(a_n) cu primul termen a1>0a_1 > 0 și rația dd. Dacă log2(a1)+log2(a5)=6\log_{2}(a_1) + \log_{2}(a_5) = 6 și a3+a7=20a_3 + a_7 = 20, să se determine a1a_1 și dd.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți termenul general al progresiei aritmetice: an=a1+(n1)da_n = a_1 + (n-1)d.
23 puncte
Folosiți condiția cu logaritmi: log2(a1)+log2(a5)=log2(a1a5)=6\log_{2}(a_1) + \log_{2}(a_5) = \log_{2}(a_1 \cdot a_5) = 6, deci a1a5=26=64a_1 \cdot a_5 = 2^6 = 64. Dar a5=a1+4da_5 = a_1 + 4d, deci a1(a1+4d)=64a_1 (a_1 + 4d) = 64.
33 puncte
Folosiți condiția a3+a7=20a_3 + a_7 = 20: a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d, a7=a1+6da_7 = a_1 + 6d, deci (a1+2d)+(a1+6d)=2a1+8d=20(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 20, simplificând a1+4d=10a_1 + 4d = 10.
42 puncte
Rezolvați sistemul: din a1+4d=10a_1 + 4d = 10 și a1(a1+4d)=64a_1 (a_1 + 4d) = 64, înlocuiți a1+4d=10a_1 + 4d = 10 în a doua ecuație: a110=64a_1 \cdot 10 = 64, deci a1=6.4a_1 = 6.4. Apoi din a1+4d=10a_1 + 4d = 10, obțineți 6.4+4d=106.4 + 4d = 10, deci 4d=3.64d = 3.6, d=0.9d = 0.9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.