MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii Geometrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit recurent prin a1=2a_1 = 2, a2=5a_2 = 5 și an+2=5an+1−6ana_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n pentru orice n≥1n \ge 1. Determinați formula explicită a termenului general ana_n și studiați convergența șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți ecuația caracteristică asociată recurenței, r2=5r−6r^2 = 5r - 6, și găsiți rădăcinile r1=2r_1 = 2 și r2=3r_2 = 3.
23 puncte
Folosind rădăcinile, scrieți soluția generală a recurenței sub forma an=A⋅2n+B⋅3na_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n, unde AA și BB sunt constante reale.
32 puncte
Aplicați condițiile inițiale a1=2a_1 = 2 și a2=5a_2 = 5 pentru a obține sistemul {2A+3B=24A+9B=5\begin{cases} 2A + 3B = 2 \\ 4A + 9B = 5 \end{cases} și rezolvați-l, găsind A=12A = \frac{1}{2} și B=13B = \frac{1}{3}.
42 puncte
Analizați formula explicită an=12⋅2n+13⋅3na_n = \frac{1}{2} \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot 3^n și deduceți că șirul nu este convergent deoarece termenul general tinde la infinit când n→∞n \to \infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.