MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \geq 1} definit prin yn=n⋅log⁡2(1+1n)y_n = n \cdot \log_2 \left(1 + \frac{1}{n}\right). a) Arătați că șirul (yn)(y_n) este crescător. b) Calculați lim⁡n→∞yn\lim_{n \to \infty} y_n. c) Folosind rezultatul de la b), demonstrați că șirul (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} cu zn=(1+1n)nz_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n este convergent.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată că yn+1>yny_{n+1} > y_n pentru orice n≥1n \geq 1. Folosind proprietățile logaritmilor, se poate scrie yn+1−yn=(n+1)log⁡2(1+1n+1)−nlog⁡2(1+1n)y_{n+1} - y_n = (n+1)\log_2\left(1+\frac{1}{n+1}\right) - n\log_2\left(1+\frac{1}{n}\right). Se aplică inegalitatea log⁡2(1+x)>x1+x\log_2(1+x) > \frac{x}{1+x} pentru x>0x>0 (demonstrată prin studierea funcției f(x)=log⁡2(1+x)−x1+xf(x)=\log_2(1+x)-\frac{x}{1+x}) sau se studiază direct monotonia prin comparare.
24 puncte
Calculul limitei: lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞nlog⁡2(1+1n)=lim⁡n→∞log⁡2(1+1n)n=log⁡2(lim⁡n→∞(1+1n)n)=log⁡2e\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} n \log_2 \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \log_2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \log_2 \left( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right) = \log_2 e, deoarece lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.
33 puncte
Șirul (zn)(z_n) este dat de zn=(1+1n)nz_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. Observăm că yn=log⁡2zny_n = \log_2 z_n, deci zn=2ynz_n = 2^{y_n}. Din step 2, lim⁡n→∞yn=log⁡2e\lim_{n \to \infty} y_n = \log_2 e, iar funcția 2x2^x este continuă, deci lim⁡n→∞zn=2log⁡2e=e\lim_{n \to \infty} z_n = 2^{\log_2 e} = e. Astfel, șirul (zn)(z_n) este convergent.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.