MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiProgresii Aritmetice
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=3xnx_{n+1} = \sqrt{3x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Considerați șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \geq 1} cu yn=log⁡3(xn)y_n = \log_3(x_n). a) Arătați că (yn)(y_n) este o progresie aritmetică. b) Determinați termenul general al șirului (xn)(x_n). c) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați yn+1=log⁡3(xn+1)=log⁡3(3xn)=12log⁡3(3xn)=12(1+log⁡3(xn))=12+yny_{n+1} = \log_3(x_{n+1}) = \log_3(\sqrt{3x_n}) = \frac{1}{2} \log_3(3x_n) = \frac{1}{2}(1 + \log_3(x_n)) = \frac{1}{2} + y_n. Astfel, yn+1=yn+12y_{n+1} = y_n + \frac{1}{2}, deci (yn)(y_n) este progresie aritmetică cu rația 12\frac{1}{2}.
22 puncte
Din y1=log⁡3(2)y_1 = \log_3(2) și rația 12\frac{1}{2}, termenul general este yn=log⁡3(2)+n−12y_n = \log_3(2) + \frac{n-1}{2}.
32 puncte
Exprimați xn=3yn=3log⁡3(2)+n−12=2⋅3n−12x_n = 3^{y_n} = 3^{\log_3(2) + \frac{n-1}{2}} = 2 \cdot 3^{\frac{n-1}{2}}.
43 puncte
Calculați limita: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞2⋅3n−12=+∞\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot 3^{\frac{n-1}{2}} = +\infty, deoarece 3n−12→∞3^{\frac{n-1}{2}} \to \infty când n→∞n \to \infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.