MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an+2a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este mărginit și monoton, apoi calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an>0a_n > 0 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. \newline
24 puncte
Se arată că an+1≥ana_{n+1} \geq a_n pentru orice nn (de exemplu, prin comparare sau studierea semnului diferenței), deci șirul este crescător și mărginit inferior. \newline
33 puncte
Presupunând că șirul are limită finită LL, din relația de recurență se obține L=L+2L = \sqrt{L + 2}, de unde L2=L+2L^2 = L + 2 și L=2L = 2 (soluția pozitivă, deoarece an>0a_n > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.