MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, suma primilor trei termeni este 14, iar produsul lor este 64. Determinați progresia. Apoi, formați șirul (cn)(c_n) unde cn=log⁡2(an)c_n = \log_2(a_n) cu ana_n termenul general al progresiei geometrice. Arătați că (cn)(c_n) este o progresie aritmetică și calculați suma primilor 10 termeni ai acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie a,ar,ar2a, ar, ar^2 primii trei termeni ai progresiei geometrice. Avem ecuațiile: a+ar+ar2=14a + ar + ar^2 = 14 și a⋅ar⋅ar2=64a \cdot ar \cdot ar^2 = 64, adică a3r3=64a^3 r^3 = 64.
23 puncte
Din a3r3=64a^3 r^3 = 64, obținem ar=4ar = 4 (deoarece termenii sunt pozitivi). Înlocuim în suma: a+4+ar2=14a + 4 + ar^2 = 14, deci a+ar2=10a + ar^2 = 10. Dar ar2=(ar)r=4rar^2 = (ar)r = 4r, deci a+4r=10a + 4r = 10. Din ar=4ar = 4, avem a=4ra = \frac{4}{r}. Substituim în a+4r=10a + 4r = 10: 4r+4r=10\frac{4}{r} + 4r = 10. Multiplicăm cu rr: 4+4r2=10r4 + 4r^2 = 10r, deci 4r2−10r+4=04r^2 - 10r + 4 = 0. Simplificăm: 2r2−5r+2=02r^2 - 5r + 2 = 0.
32 puncte
Rezolvăm ecuația: r=2r = 2 sau r=12r = \frac{1}{2}. Pentru r=2r=2, a=2a=2; pentru r=12r=\frac{1}{2}, a=8a=8. Ambele sunt valide deoarece termenii sunt pozitivi.
42 puncte
Pentru șirul (cn)=log⁡2(an)(c_n) = \log_2(a_n). Dacă an=arn−1a_n = a r^{n-1}, atunci cn=log⁡2(a)+(n−1)log⁡2(r)c_n = \log_2(a) + (n-1)\log_2(r), care este o progresie aritmetică cu rația log⁡2(r)\log_2(r). Calculăm suma primilor 10 termeni: pentru a=2,r=2a=2, r=2, cn=log⁡2(2)+(n−1)log⁡2(2)=1+(n−1)=nc_n = \log_2(2) + (n-1)\log_2(2) = 1 + (n-1) = n, deci S10=1+2+…+10=55S_{10} = 1+2+\ldots+10 = 55; pentru a=8,r=12a=8, r=\frac{1}{2}, cn=log⁡2(8)+(n−1)log⁡2(12)=3+(n−1)(−1)=4−nc_n = \log_2(8) + (n-1)\log_2(\frac{1}{2}) = 3 + (n-1)(-1) = 4 - n, deci S10=(4−1)+(4−2)+…+(4−10)=−15S_{10} = (4-1) + (4-2) + \ldots + (4-10) = -15.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.