MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (un)n≥1(u_n)_{n \geq 1} definit prin u1=1u_1 = 1 și un+1=un2+1unu_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n} pentru n≥1n \geq 1. Folosind inducția matematică, demonstrați că un≥2u_n \geq \sqrt{2} pentru orice n≥2n \geq 2. Studiați convergența șirului și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Pentru n=2n=2, u2=12+1=1.5u_2 = \frac{1}{2} + 1 = 1.5 și 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414, deci u2≥2u_2 \geq \sqrt{2}. Presupunem că uk≥2u_k \geq \sqrt{2} pentru un k≥2k \geq 2. Atunci uk+1=uk2+1uk≥2uk2⋅1uk=2u_{k+1} = \frac{u_k}{2} + \frac{1}{u_k} \geq 2 \sqrt{\frac{u_k}{2} \cdot \frac{1}{u_k}} = \sqrt{2} (folosind inegalitatea mediilor). Prin inducție, un≥2u_n \geq \sqrt{2} pentru orice n≥2n \geq 2.\n
23 puncte
Pentru n≥2n \geq 2, avem un+1−un=1un−un2u_{n+1} - u_n = \frac{1}{u_n} - \frac{u_n}{2}. Deoarece un≥2u_n \geq \sqrt{2}, 1un≤12\frac{1}{u_n} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} și un2≥22=12\frac{u_n}{2} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}, deci un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \leq 0, adică șirul este descrescător.\n
32 puncte
Șirul (un)(u_n) este descrescător și mărginit inferior de 2\sqrt{2}, deci este convergent. Fie L=lim⁡unL = \lim u_n. Din relația de recurență, trecând la limită, obținem L=L2+1LL = \frac{L}{2} + \frac{1}{L}.\n
41 punct
Rezolvând ecuația L=L2+1LL = \frac{L}{2} + \frac{1}{L}, avem L2=2L^2 = 2, deci L=2L = \sqrt{2} (deoarece un≥2u_n \geq \sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.