MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăMonotonie și convexitate
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=3an−2a_{n+1} = \sqrt{3a_n - 2} pentru n≥1n \geq 1. Să se determine limita șirului și să se demonstreze convergența folosind metoda inducției matematice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an≥2a_n \geq 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, a1=2≥2a_1=2 \geq 2. Presupunem an≥2a_n \geq 2, atunci an+1=3an−2≥3⋅2−2=4=2a_{n+1} = \sqrt{3a_n - 2} \geq \sqrt{3 \cdot 2 - 2} = \sqrt{4} = 2. Deci șirul este mărginit inferior de 2.
23 puncte
Se arată că șirul este descrescător. Se demonstrează că an+1≤ana_{n+1} \leq a_n pentru orice n≥1n \geq 1. Avem an+1≤an⇔3an−2≤an⇔3an−2≤an2⇔an2−3an+2≥0⇔(an−1)(an−2)≥0a_{n+1} \leq a_n \Leftrightarrow \sqrt{3a_n - 2} \leq a_n \Leftrightarrow 3a_n - 2 \leq a_n^2 \Leftrightarrow a_n^2 - 3a_n + 2 \geq 0 \Leftrightarrow (a_n - 1)(a_n - 2) \geq 0. Cum an≥2a_n \geq 2 (din pasul 1), inegalitatea este adevărată. Deci șirul este descrescător și mărginit inferior, deci convergent.
33 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=3L−2L = \sqrt{3L - 2}, deci L2=3L−2⇔L2−3L+2=0⇔(L−1)(L−2)=0L^2 = 3L - 2 \Leftrightarrow L^2 - 3L + 2 = 0 \Leftrightarrow (L-1)(L-2)=0. Soluțiile sunt L=1L=1 și L=2L=2. Cum șirul este mărginit inferior de 2 și descrescător, limita este L=2L=2.
42 puncte
Concluzie: Șirul (an)(a_n) este convergent și lim⁡n→∞an=2\lim_{n \to \infty} a_n = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.