MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \ge 1. Demonstrați că șirul (xn)(x_n) este monoton crescător și mărginit superior, apoi calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați prin inducție matematică că xn<2x_n < 2 pentru orice n≥1n \ge 1, folosind faptul că dacă xn<2x_n < 2, atunci xn+1=2+xn<2+2=2x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2.\n
23 puncte
Demonstrați că xn+1>xnx_{n+1} > x_n pentru orice n≥1n \ge 1: deoarece xn+12−xn2=2+xn−xn2=(2−xn)(1+xn)>0x_{n+1}^2 - x_n^2 = 2 + x_n - x_n^2 = (2 - x_n)(1 + x_n) > 0 dacă xn<2x_n < 2, și cum xn≥1x_n \ge 1, rezultă xn+1>xnx_{n+1} > x_n.\n
34 puncte
Aplicați teorema de convergență a șirurilor monotone și mărginite pentru a deduce că șirul are limită finită LL. Din relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=2+LL^2 = 2 + L. Rezolvați ecuația L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0 pentru a obține L=2L = 2 (soluția pozitivă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.