MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} cu xn=ln⁡(n2+3n+2)−ln⁡(n2+1)x_n = \ln(n^2 + 3n + 2) - \ln(n^2 + 1). a) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n. b) Studiați monotonitatea șirului (xn)(x_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Simplificăm expresia: xn=ln⁡(n2+3n+2n2+1)=ln⁡(1+3n+1n2+1)x_n = \ln\left(\frac{n^2 + 3n + 2}{n^2 + 1}\right) = \ln\left(1 + \frac{3n+1}{n^2+1}\right).
23 puncte
Calculăm limita: lim⁡n→∞xn=ln⁡(1)=0\lim_{n \to \infty} x_n = \ln(1) = 0, deoarece 3n+1n2+1→0\frac{3n+1}{n^2+1} \to 0 când n→∞n \to \infty.
33 puncte
Studiem monotonitatea: Fie f(n)=n2+3n+2n2+1f(n) = \frac{n^2 + 3n + 2}{n^2 + 1}. Calculăm xn+1−xn=ln⁡((n+1)2+3(n+1)+2(n+1)2+1)−ln⁡(n2+3n+2n2+1)=ln⁡((n2+5n+6)(n2+1)(n2+2n+2)(n2+3n+2))x_{n+1} - x_n = \ln\left(\frac{(n+1)^2 + 3(n+1) + 2}{(n+1)^2 + 1}\right) - \ln\left(\frac{n^2 + 3n + 2}{n^2 + 1}\right) = \ln\left(\frac{(n^2+5n+6)(n^2+1)}{(n^2+2n+2)(n^2+3n+2)}\right). Simplificând, obținem că pentru n≥1n \geq 1, fracția din logaritm este subunitară, deci xn+1−xn<0x_{n+1} - x_n < 0, așadar șirul este strict descrescător.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.