MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeProgresii Geometrice
Se consideră progresia aritmetică (bn)(b_n) cu b1=5b_1 = 5 și rația d=3d = 3. Definește șirul (cn)(c_n) prin cn=bn2nc_n = \frac{b_n}{2^n}. a) Găsiți o formulă explicită pentru cnc_n. b) Stabiliți dacă șirul (cn)(c_n) este convergent și determinați limita sa, dacă există. c) Calculați suma Sn=∑k=1nckS_n = \sum_{k=1}^{n} c_k.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general al progresiei aritmetice este bn=b1+(n−1)d=5+(n−1)3=3n+2b_n = b_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)3 = 3n+2, deci cn=3n+22nc_n = \frac{3n+2}{2^n}.
24 puncte
Se calculează lim⁡n→∞cn=lim⁡n→∞3n+22n=0\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{2^n} = 0 deoarece 2n2^n crește mai rapid decât 3n+23n+2. Alternativ, se poate folosi criteriul raportului: cn+1cn=3(n+1)+22n+1⋅2n3n+2=3n+52(3n+2)→12<1\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3(n+1)+2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{3n+2} = \frac{3n+5}{2(3n+2)} \to \frac{1}{2} < 1, deci șirul converge la 0.
33 puncte
Sn=∑k=1n3k+22k=3∑k=1nk2k+2∑k=1n12kS_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k+2}{2^k} = 3\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} + 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}. Se folosește ∑k=1nrk=r(1−rn)1−r\sum_{k=1}^{n} r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} cu r=12r=\frac{1}{2} pentru a doua sumă, iar pentru prima sumă, ∑k=1nkrk=r(1−(n+1)rn+nrn+1)(1−r)2\sum_{k=1}^{n} k r^k = \frac{r(1-(n+1)r^n + n r^{n+1})}{(1-r)^2} cu r=12r=\frac{1}{2}. Înlocuind, se obține Sn=3⋅12(1−(n+1)(12)n+n(12)n+1)(12)2+2⋅12(1−(12)n)12=12(12−(n+1)(12)n+1+n(12)n+2)+2(1−(12)n)S_n = 3 \cdot \frac{\frac{1}{2}(1-(n+1)(\frac{1}{2})^n + n (\frac{1}{2})^{n+1})}{(\frac{1}{2})^2} + 2 \cdot \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 12 \left( \frac{1}{2} - (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+2} \right) + 2(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.