MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Fie aa și bb numere reale pozitive. Se consideră șirurile (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} și (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definite prin a1=aa_1 = a, b1=bb_1 = b și pentru n≥1n \geq 1, an+1=an+bn2a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, bn+1=anbnb_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}. Demonstrați că șirurile sunt convergente și că au aceeași limită.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătați că an≥bna_n \geq b_n pentru orice n≥1n \geq 1 și că șirul (an)(a_n) este descrescător, iar (bn)(b_n) este crescător, folosind inducție și proprietăți ale mediei aritmetice și geometrice.
23 puncte
Deduceți că ambele șiruri sunt mărginite (de aa și bb) și, prin teorema de convergență a șirurilor monotone, că sunt convergente.
33 puncte
Notând cu LL limita comună, treceți la limită în relațiile recurente pentru a obține L=L+L2L = \frac{L + L}{2} și L=L⋅LL = \sqrt{L \cdot L}, de unde L=abL = \sqrt{ab}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.