MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceInducție matematică
Fie șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin b1=1b_1 = 1 și bn+1=2bn+3nb_{n+1} = 2b_n + 3^n pentru orice n≥1n \geq 1. Să se determine termenul general bnb_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că pentru n=1n=1, b1=31−21=1b_1 = 3^1 - 2^1 = 1, adevărat.
25 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică: presupunem că bk=3k−2kb_k = 3^k - 2^k pentru un k≥1k \geq 1 și se calculează bk+1=2bk+3k=2(3k−2k)+3k=3⋅3k−2k+1=3k+1−2k+1b_{k+1} = 2b_k + 3^k = 2(3^k - 2^k) + 3^k = 3 \cdot 3^k - 2^{k+1} = 3^{k+1} - 2^{k+1}.
32 puncte
Se concluzionează că bn=3n−2nb_n = 3^n - 2^n pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.