MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+ln⁡(n+1)a_{n+1} = a_n + \ln(n+1) pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, unde bn=eanb_n = e^{a_n}, este o progresie geometrică și calculați limita lim⁡n→∞annln⁡n\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n \ln n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că bn+1=ean+1=ean+ln⁡(n+1)=ean⋅eln⁡(n+1)=bn⋅(n+1)b_{n+1} = e^{a_{n+1}} = e^{a_n + \ln(n+1)} = e^{a_n} \cdot e^{\ln(n+1)} = b_n \cdot (n+1), deci (bn)(b_n) este o progresie geometrică cu rația n+1n+1, care depinde de nn (este un șir de rații).
23 puncte
Din recurență, an=a1+∑k=1n−1ln⁡(k+1)=2+ln⁡(2⋅3⋅…⋅n)=2+ln⁡(n!)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \ln(k+1) = 2 + \ln(2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) = 2 + \ln(n!), unde n!n! este factorialul lui nn.
34 puncte
Folosind aproximarea Stirling ln⁡(n!)∼nln⁡n−n\ln(n!) \sim n \ln n - n pentru nn mare, sau inegalități precum ∫1nln⁡x dx≤ln⁡(n!)≤∫1n+1ln⁡x dx\int_1^n \ln x \, dx \leq \ln(n!) \leq \int_1^{n+1} \ln x \, dx, se obține lim⁡n→∞annln⁡n=lim⁡n→∞2+ln⁡(n!)nln⁡n=1\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \ln(n!)}{n \ln n} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.