MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAplicații ale trigonometriei în geometrie
Într-un triunghi dreptunghic ABCABC cu ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, se construiește înălțimea AD⊥BCAD \perp BC, D∈BCD \in BC. Din DD se duce perpendiculara DE⊥ABDE \perp AB, E∈ABE \in AB, apoi din EE perpendiculara EF⊥BCEF \perp BC, F∈BCF \in BC, și se continuă procesul, obținându-se un șir de segmente: AD,DE,EF,…AD, DE, EF, \dots. Știind că AB=4AB = 4 și AC=3AC = 3, iar șirul (ln)n≥1(l_n)_{n \ge 1} reprezintă lungimile acestor segmente în ordinea construcției, cu l1=ADl_1 = AD, l2=DEl_2 = DE, etc., demonstrați că (ln)(l_n) este o progresie geometrică și determinați rația. Apoi calculați suma S=l1+l2+⋯+l10S = l_1 + l_2 + \dots + l_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculăm ipotenuza BC=AB2+AC2=42+32=25=5BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5. Aria triunghiului ABCABC este AB⋅AC2=6\frac{AB \cdot AC}{2} = 6, dar și BC⋅AD2=6\frac{BC \cdot AD}{2} = 6, deci AD=125AD = \frac{12}{5}. Astfel, l1=125l_1 = \frac{12}{5}.
24 puncte
Triunghiurile ABDABD, ADEADE, EFBEFB, etc. sunt asemenea cu triunghiul ABCABC. Raportul de asemănare între ABDABD și ABCABC este ADAC=12/53=45\frac{AD}{AC} = \frac{12/5}{3} = \frac{4}{5}. De asemenea, în triunghiul ABDABD, DEDE este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei ABAB, iar raportul DEAD\frac{DE}{AD} este același cu ADAC\frac{AD}{AC}, adică 45\frac{4}{5}. Analog pentru următoarele segmente. Prin urmare, șirul (ln)(l_n) este o progresie geometrică cu rația q=45q = \frac{4}{5}.
34 puncte
Suma primilor 10 termeni ai progresiei geometrice este S=l1⋅1−q101−q=125⋅1−(4/5)101−4/5=125⋅1−(4/5)101/5=12⋅(1−(4/5)10)S = l_1 \cdot \frac{1-q^{10}}{1-q} = \frac{12}{5} \cdot \frac{1 - (4/5)^{10}}{1 - 4/5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{1 - (4/5)^{10}}{1/5} = 12 \cdot (1 - (4/5)^{10}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.