MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateInducție matematică
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru n≥1n \geq 1. Studiați monotonia șirului și demonstrați că este convergent. Aflați limita șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că șirul este crescător. Pentru n=1n=1, x2=3>1=x1x_2 = \sqrt{3} > 1 = x_1. Presupunem xn>xn−1x_n > x_{n-1}, atunci xn+1=2+xn>2+xn−1=xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} > \sqrt{2 + x_{n-1}} = x_n, deci șirul este crescător.
23 puncte
Se arată că șirul este mărginit superior. Prin inducție, se demonstrează că xn≤2x_n \leq 2 pentru tot nn. Pentru n=1n=1, x1=1≤2x_1=1\leq2. Presupunem xn≤2x_n \leq 2, atunci xn+1=2+xn≤4=2x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} \leq \sqrt{4} = 2. Șirul crescător și mărginit superior este convergent.
33 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din recurența, se obține L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Rezolvând ecuația L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Deoarece xn>0x_n > 0 pentru tot nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.