MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații exponentialeInducție matematică
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=e−xnx_{n+1} = e^{-x_n} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este descrescător și mărginit, și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați x2=e−1≈0.3679<1=x1x_2 = e^{-1} \approx 0.3679 < 1 = x_1, observând că șirul pare descrescător.
24 puncte
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n≥1n \geq 1, xn>0x_n > 0 și xn+1<xnx_{n+1} < x_n; baza: x1=1>0x_1 = 1 > 0; pasul inductiv: dacă xk>0x_k > 0, atunci xk+1=e−xk>0x_{k+1} = e^{-x_k} > 0, iar din xk>xk+1x_k > x_{k+1} (presupunere), arătați că xk+1>xk+2x_{k+1} > x_{k+2} folosind monotonitatea funcției e−xe^{-x}.
33 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 0, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din recurență, L=e−LL = e^{-L}. Rezolvați ecuația L=e−LL = e^{-L} observând că funcția f(L)=L−e−Lf(L) = L - e^{-L} este continuă și strict crescătoare, cu f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 și f(1)=1−e−1>0f(1) = 1 - e^{-1} > 0, deci există o soluție unică L∈(0,1)L \in (0,1) care poate fi aproximată numeric sau lăsată sub formă implicită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.