MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Șirul (an)(a_n) este o progresie aritmetică cu primul termen a1a_1 și rația dd. Demonstrați că pentru șirul (bn)(b_n) definit prin bn=1anan+1b_n = \frac{1}{a_n a_{n+1}}, suma primilor nn termeni este Sn=1d(1a1−1an+1)S_n = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right). Apoi, pentru a1=1a_1 = 1 și d=1d = 1, calculați lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se observă că bn=1anan+1=1d(1an−1an+1)b_n = \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right), deoarece an+1=an+da_{n+1} = a_n + d și 1an−1an+1=an+1−ananan+1=danan+1\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \frac{d}{a_n a_{n+1}}.
23 puncte
Suma telescopică dă Sn=∑k=1nbk=1d(1a1−1an+1)S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right).
32 puncte
Pentru a1=1a_1 = 1 și d=1d = 1, avem an=na_n = n, deci Sn=1−1n+1S_n = 1 - \frac{1}{n+1}.
41 punct
lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞(1−1n+1)=1\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.