MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n\ge 1} definit de relația x1=2x_1=2 și xn+1=xn+3n+2x_{n+1}=x_n+3n+2 pentru n≥1n\ge 1. Determinați suma S=x1+x2+…+x20S=x_1+x_2+\ldots+x_{20} și demonstrați că șirul (xn)n≥1(x_n)_{n\ge 1} este divergent.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea termenului general al șirului. Din relația de recurență, xn+1−xn=3n+2x_{n+1}-x_n=3n+2, deci șirul are diferențe în progresie aritmetică. Se obține xn=x1+∑k=1n−1(3k+2)=2+3⋅(n−1)n2+2(n−1)=2+3n(n−1)2+2n−2=3n2+n2x_n=x_1+\sum_{k=1}^{n-1}(3k+2)=2+3\cdot\frac{(n-1)n}{2}+2(n-1)=2+\frac{3n(n-1)}{2}+2n-2=\frac{3n^2+n}{2}.
23 puncte
Calculul sumei S=∑n=120xn=12∑n=120(3n2+n)=12(3⋅20⋅21⋅416+20⋅212)=12(3⋅2870+210)=12(8610+210)=88202=4410S=\sum_{n=1}^{20}x_n=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{20}(3n^2+n)=\frac{1}{2}\left(3\cdot\frac{20\cdot21\cdot41}{6}+\frac{20\cdot21}{2}\right)=\frac{1}{2}(3\cdot2870+210)=\frac{1}{2}(8610+210)=\frac{8820}{2}=4410.
32 puncte
Demonstrarea divergenței șirului. lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞3n2+n2=∞\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+n}{2}=\infty, deci șirul este divergent.
43 puncte
Verificarea și justificare completă. Se verifică corectitudinea calculului termenului general și a sumei, precum și concluzia asupra divergenței.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.