MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceTrigonometrie
Se consideră șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} unde bn=∑k=1n12kcos⁡(kπ4)b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right). Calculați lim⁡n→∞bn\lim_{n \to \infty} b_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se exprimă bnb_n folosind numere complexe: bn=ℜ(∑k=1n(12eiπ/4)k)b_n = \Re\left(\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2} e^{i\pi/4}\right)^k\right), unde ℜ\Re denotă partea reală, deoarece cos⁡θ=ℜ(eiθ)\cos\theta = \Re(e^{i\theta}).
23 puncte
Se aplică formula sumei unei progresii geometrice finite: ∑k=1nrk=r(1−rn)1−r\sum_{k=1}^{n} r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} pentru r≠1r \neq 1. Aici r=12eiπ/4r = \frac{1}{2} e^{i\pi/4}.
33 puncte
Se calculează limita când n→∞n \to \infty, observând că ∣r∣=12<1|r| = \frac{1}{2} < 1, deci rn→0r^n \to 0. Astfel, lim⁡n→∞bn=ℜ(r1−r)=ℜ(12eiπ/41−12eiπ/4)\lim_{n \to \infty} b_n = \Re\left(\frac{r}{1-r}\right) = \Re\left(\frac{\frac{1}{2} e^{i\pi/4}}{1 - \frac{1}{2} e^{i\pi/4}}\right). Simplificând, se obține 2−25\frac{2 - \sqrt{2}}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.