MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați că șirul este mărginit. Prin inducție, se demonstrează că 0<xn<20 < x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1: pentru n=1n=1, x1=1x_1=1, iar dacă 0<xn<20 < x_n < 2, atunci xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} satisface 0<2<xn+1<4=20 < \sqrt{2} < x_{n+1} < \sqrt{4} = 2.
23 puncte
Arătați că șirul este monoton crescător. Comparând xn+1x_{n+1} și xnx_n, avem xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Pentru xn∈(0,2)x_n \in (0,2), se verifică că 2+xn≥xn\sqrt{2 + x_n} \geq x_n deoarece funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x este pozitivă pe acest interval, deci xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n.
34 puncte
Folosind teorema șirurilor monotone și mărginite, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, trecând la limită, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=L+2L^2 = L + 2. Rezolvând ecuația L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, se obține L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Cum xn>0x_n > 0 pentru toți nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.