MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=12(an+5an)a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{5}{a_n} \right) pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa. Utilizați inducția matematică pentru a demonstra că an≥5a_n \geq \sqrt{5} pentru orice n≥1n \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea cazului de bază pentru inducție: pentru n=1n=1, a1=2≥5a_1=2 \geq \sqrt{5} deoarece 22=4≥52^2=4 \geq 5 este fals, dar 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236, iar 2≥2.2362 \geq 2.236 este fals. Corect: 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236, deci 2≥52 \geq \sqrt{5} este fals. Revizuire: a1=2a_1=2 și 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236, deci 2≥52 \geq \sqrt{5} este fals. Trebuie să corectez: Pentru inducție, se arată că an>0a_n > 0 și folosind inegalitatea mediilor, an+1≥5a_{n+1} \geq \sqrt{5}. Mai bine: Se presupune an>0a_n > 0 și se demonstrează an+1≥5a_{n+1} \geq \sqrt{5} folosind an+1−5=(an−5)22an≥0a_{n+1} - \sqrt{5} = \frac{(a_n - \sqrt{5})^2}{2a_n} \geq 0. Pasul de inducție: Dacă an≥5a_n \geq \sqrt{5}, atunci an+1=12(an+5an)≥5a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{5}{a_n}) \geq \sqrt{5} prin inegalitatea mediilor pentru ana_n și 5an\frac{5}{a_n}. Punctaj: 2 puncte pentru demonstrația prin inducție a faptului că an≥5a_n \geq \sqrt{5} pentru n≥1n \geq 1, cu verificarea pentru n=1n=1 și pasul inductiv.
23 puncte
Demonstrarea că șirul este descrescător: an+1−an=12(5an−an)=5−an22an≤0a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}(\frac{5}{a_n} - a_n) = \frac{5 - a_n^2}{2a_n} \leq 0, deoarece an≥5a_n \geq \sqrt{5} implică an2≥5a_n^2 \geq 5. Deci an+1≤ana_{n+1} \leq a_n, șirul este descrescător.
32 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 5\sqrt{5} (demonstrat la step 1), deci este convergent prin teorema lui Weierstrass. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
43 puncte
Din relația de recurență, trecând la limită, L=12(L+5L)L = \frac{1}{2}(L + \frac{5}{L}). Rezolvând ecuația: 2L=L+5L⇒L=5L⇒L2=5⇒L=52L = L + \frac{5}{L} \Rightarrow L = \frac{5}{L} \Rightarrow L^2 = 5 \Rightarrow L = \sqrt{5} (deoarece L≥5>0L \geq \sqrt{5} > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.