MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul de numere reale (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin bn=1n∑k=1nln⁡(1+1k)b_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right). Studiați convergența acestui șir și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți suma ca un produs: ∑k=1nln⁡(1+1k)=ln⁡(∏k=1nk+1k)\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \ln\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k}\right). Produsul se telescopează: ∏k=1nk+1k=21⋅32⋅…⋅n+1n=n+1\prod_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n+1}{n} = n+1. Așadar, bn=1nln⁡(n+1)b_n = \frac{1}{n} \ln(n+1).
23 puncte
Arătați că șirul (bn)(b_n) este descrescător pentru nn suficient de mare. Considerați funcția f(x)=ln⁡(x+1)xf(x) = \frac{\ln(x+1)}{x} pentru x>0x > 0 și studiați derivata f′(x)=1x(x+1)−ln⁡(x+1)x2f'(x) = \frac{1}{x(x+1)} - \frac{\ln(x+1)}{x^2}. Pentru xx mare, f′(x)<0f'(x) < 0, deci șirul este descrescător.
33 puncte
Calculați limita: lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞ln⁡(n+1)n\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n}. Folosind regula lui l'Hospital sau proprietăți ale logaritmilor, lim⁡n→∞ln⁡(n+1)n=0\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n} = 0. Astfel, șirul converge la 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.