MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Fie (an)(a_n) un șir aritmetic cu termeni pozitivi. Dacă a1+a2+a3=12a_1 + a_2 + a_3 = 12 și a12+a22+a32=56a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 56, determinați termenul general al șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notăm primul termen cu a1a_1 și rația cu rr. Atunci a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r. Din a1+a2+a3=12a_1 + a_2 + a_3 = 12, obținem 3a1+3r=123a_1 + 3r = 12, deci a1+r=4a_1 + r = 4.
26 puncte
Din a12+a22+a32=56a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 56, avem a12+(a1+r)2+(a1+2r)2=56a_1^2 + (a_1 + r)^2 + (a_1 + 2r)^2 = 56. Înlocuim a1+r=4a_1 + r = 4 pentru a exprima totul în funcție de a1a_1. Din a1+r=4a_1 + r = 4, avem r=4−a1r = 4 - a_1. Atunci a1+2r=a1+2(4−a1)=8−a1a_1 + 2r = a_1 + 2(4 - a_1) = 8 - a_1. Ecuația devine a12+42+(8−a1)2=56a_1^2 + 4^2 + (8 - a_1)^2 = 56. Calculăm: a12+16+64−16a1+a12=56a_1^2 + 16 + 64 - 16a_1 + a_1^2 = 56, adică 2a12−16a1+80=562a_1^2 - 16a_1 + 80 = 56, deci 2a12−16a1+24=02a_1^2 - 16a_1 + 24 = 0, sau împărțind cu 2, a12−8a1+12=0a_1^2 - 8a_1 + 12 = 0. Soluțiile sunt a1=2a_1 = 2 și a1=6a_1 = 6. Pentru a1=2a_1 = 2, avem r=2r = 2, iar termenul general este an=2+(n−1)⋅2=2na_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2n. Pentru a1=6a_1 = 6, avem r=−2r = -2, dar verificăm dacă termenii sunt pozitivi: a2=4a_2 = 4, a3=2a_3 = 2, a4=0a_4 = 0 nu este pozitiv strict. Deoarece șirul are termeni pozitivi, soluția a1=6,r=−2a_1 = 6, r = -2 nu este validă, deoarece pentru nn suficient de mare, termenii devin nepozitivi. Astfel, singura soluție este a1=2,r=2a_1 = 2, r = 2, iar termenul general este an=2na_n = 2n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.