MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin xn=∫01tne−tdtx_n = \int_0^1 t^n e^{-t} dt. Să se arate că șirul este convergent și să i se calculeze limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că pentru t∈[0,1]t \in [0,1], 0≤tne−t≤tn0 \le t^n e^{-t} \le t^n, deoarece e−t≤1e^{-t} \le 1. Integrând aceste inegalități, se obține 0≤xn≤∫01tndt=1n+10 \le x_n \le \int_0^1 t^n dt = \frac{1}{n+1}. Deci șirul este mărginit și 0≤xn≤1n+10 \le x_n \le \frac{1}{n+1}.
24 puncte
Șirul este descrescător, deoarece pentru orice n≥1n \ge 1, xn+1=∫01tn+1e−tdt≤∫01tne−tdt=xnx_{n+1} = \int_0^1 t^{n+1} e^{-t} dt \le \int_0^1 t^n e^{-t} dt = x_n, întrucât tn+1≤tnt^{n+1} \le t^n pe [0,1][0,1]. Astfel, șirul este descrescător și mărginit inferior de 0, deci convergent.
32 puncte
Din inegalitatea 0≤xn≤1n+10 \le x_n \le \frac{1}{n+1} și aplicând teorema cleștelui, rezultă că lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.