MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, șirul (an)(a_n) definit prin a1=2a_1 = \sqrt{2} și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} este mărginit superior de 2 și monoton crescător, și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prin inducție, se arată că an<2a_n < 2 (mărginire) și an+1>ana_{n+1} > a_n (monotonie). Pasul de bază: a1=2<2a_1 = \sqrt{2} < 2 și a2=2+2>2=a1a_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} > \sqrt{2} = a_1. Pasul inductiv: presupunem an<2a_n < 2 și an>an−1a_n > a_{n-1}, atunci an+1=2+an<2+2=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2 și an+1>ana_{n+1} > a_n deoarece 2+an>an\sqrt{2 + a_n} > a_n când an<2a_n < 2 (se verifică prin ridicare la pătrat). \n
23 puncte
Șirul este mărginit și monoton crescător, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din recurența an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}, trecând la limită, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}. \n
33 puncte
Rezolvăm ecuația L=2+LL = \sqrt{2 + L}: L2=2+LL^2 = 2 + L sau L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L = 2 și L=−1L = -1. Deoarece an>0a_n > 0 pentru orice nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.