MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=3a_1 = 3 și an+1=log⁡2(an+2)a_{n+1} = \log_2(a_n + 2) pentru n≥1n \ge 1. a) Arătați că șirul este bine definit și an>1a_n > 1 pentru orice n≥1n \ge 1. b) Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa. c) Studiați monotonia șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an>1a_n > 1 pentru orice n≥1n \ge 1. Pentru n=1n=1, a1=3>1a_1=3>1. Presupunem an>1a_n>1, atunci an+2>3a_n+2>3, deci log⁡2(an+2)>log⁡2(3)>1\log_2(a_n+2)> \log_2(3) > 1, de unde an+1>1a_{n+1}>1. În plus, an+2>0a_n+2>0, deci logaritmul este definit, așadar șirul este bine definit.
23 puncte
Se studiază monotonia considerând funcția f(x)=log⁡2(x+2)−xf(x) = \log_2(x+2) - x pentru x>1x>1. Derivata f′(x)=1(x+2)ln⁡2−1f'(x) = \frac{1}{(x+2)\ln 2} - 1. Deoarece pentru x>1x>1, 1(x+2)ln⁡2<13ln⁡2<1\frac{1}{(x+2)\ln 2} < \frac{1}{3\ln 2} < 1 (căci 3ln⁡2≈2.079>13\ln 2 \approx 2.079>1), rezultă f′(x)<0f'(x)<0, deci ff este strict descrescătoare. Cum f(2)=log⁡2(4)−2=0f(2) = \log_2(4)-2=0, avem f(x)>0f(x)>0 pentru x<2x<2 și f(x)<0f(x)<0 pentru x>2x>2. Astfel, dacă an<2a_n < 2, atunci an+1=log⁡2(an+2)>ana_{n+1} = \log_2(a_n+2) > a_n; dacă an>2a_n > 2, atunci an+1<ana_{n+1} < a_n. Pentru a1=3>2a_1=3>2, se arată prin inducție că an>2a_n > 2 pentru toți nn, deci șirul este strict descrescător.
33 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 1 (din punctul a), deci este convergent. Fie LL limita. Trecând la limită în relația de recurență: L=log⁡2(L+2)L = \log_2(L+2).
42 puncte
Rezolvăm ecuația L=log⁡2(L+2)L = \log_2(L+2). Echivalent, 2L=L+22^L = L+2. Se verifică că L=2L=2 este soluție. Funcția h(L)=2L−L−2h(L)=2^L - L - 2 are derivata h′(L)=2Lln⁡2−1h'(L)=2^L \ln 2 - 1. Pentru L>1L>1, 2L>22^L >2, deci h′(L)>2ln⁡2−1>0h'(L)>2\ln2 -1>0, așadar hh este strict crescătoare pe (1,∞)(1,\infty). Soluția este unică, deci L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.