MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=xn2−2xn+3x_{n+1} = x_n^2 - 2x_n + 3 pentru orice n≥1n \geq 1. a) Calculați x2x_2 și x3x_3. b) Demonstrați prin inducție matematică că xn>0x_n > 0 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. c) Studiați monotonia șirului (xn)(x_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculăm x2=12−2⋅1+3=2x_2 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 2, x3=22−2⋅2+3=3x_3 = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 3.
24 puncte
Demonstrație prin inducție: Cazul de bază: x1=1>0x_1 = 1 > 0. Presupunem că xn>0x_n > 0 pentru un nn dat și demonstrăm pentru n+1n+1: xn+1=xn2−2xn+3=(xn−1)2+2>0x_{n+1} = x_n^2 - 2x_n + 3 = (x_n - 1)^2 + 2 > 0, deoarece pătratul este nenegativ și se adaugă 2.
34 puncte
Studiem monotonia: xn+1−xn=xn2−2xn+3−xn=xn2−3xn+3x_{n+1} - x_n = x_n^2 - 2x_n + 3 - x_n = x_n^2 - 3x_n + 3. Pentru xn>0x_n > 0, avem xn2−3xn+3=(xn−32)2+34>0x_n^2 - 3x_n + 3 = (x_n - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0, deci xn+1>xnx_{n+1} > x_n, adică șirul este strict crescător.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.