MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiStudiul funcțiilor
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin xn=1+12+13+⋯+1n−ln⁡(n)x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \ln(n). Demonstrați că șirul (xn)(x_n) este convergent.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați xn+1−xn=1n+1−ln⁡(1+1n)x_{n+1} - x_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right).
23 puncte
Folosiți inegalitatea ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x) \leq x pentru x>−1x > -1 pentru a deduce că xn+1−xn≤0x_{n+1} - x_n \leq 0, deci șirul este descrescător.
32 puncte
Arătați că xnx_n este mărginit inferior, de exemplu, prin 00, utilizând faptul că ln⁡(n)<1+12+⋯+1n\ln(n) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} pentru n≥1n \geq 1 (se poate justifica cu integrale sau aproximări).
42 puncte
Concluzi că șirul descrescător și mărginit inferior este convergent.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.