MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=log⁡102x_1 = \log_{10} 2 și xn+1=log⁡10(10xn+1)x_{n+1} = \log_{10} (10^{x_n} + 1) pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (xn)(x_n) este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție că xn>0x_n > 0 pentru toți nn și că xn+1>xnx_{n+1} > x_n, folosind proprietățile logaritmilor și inegalități, deci șirul este crescător.
23 puncte
Se arată că xn<1x_n < 1 pentru toți nn, de exemplu observând că 10xn+1<1010^{x_n} + 1 < 10 pentru xn<1x_n < 1, prin inducție sau calcule algebrice, deci șirul este mărginit superior.
32 puncte
Conform teoremei convergenței monotone pentru șiruri de numere reale, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n.
42 puncte
Din relația de recurență, trecând la limită, se obține L=log⁡10(10L+1)L = \log_{10} (10^L + 1). Rezolvând această ecuație, 10L=10L+110^L = 10^L + 1 conduce la 10L=1+5210^L = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, deci L=log⁡101+52L = \log_{10} \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.