MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Se consideră șirurile (xn)(x_n) și (yn)(y_n) definite pentru n≥0n \geq 0 prin x0=a>0x_0 = a > 0, y0=b>0y_0 = b > 0 cu a≠ba \neq b, și recurențele xn+1=xn+yn2x_{n+1} = \frac{x_n + y_n}{2}, yn+1=xnyny_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}. Arătați că ambele șiruri sunt convergente și au aceeași limită, numită media aritmetico-geometrică a lui aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați că șirurile sunt mărginite și pozitive, de exemplu, 0<yn≤xn0 < y_n \leq x_n pentru orice nn prin inducție.
23 puncte
Arătați că șirul (xn)(x_n) este descrescător iar (yn)(y_n) este crescător, folosind definițiile și inegalitățile.
32 puncte
Folosiți inegalitatea mediilor pentru a arăta că xn+1≥yn+1x_{n+1} \geq y_{n+1} și confirmați monotonia.
42 puncte
Concluzionați că ambele șiruri sunt convergente și, notând limitele cu LL și MM, din recurențe se obține L=L+M2L = \frac{L+M}{2} și M=LMM = \sqrt{LM}, deci L=ML = M, rezolvând ecuația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.