MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=3a_1 = 3 și an+1=log⁡2(an+1)a_{n+1} = \log_2(a_n + 1) pentru orice n≥1n \geq 1. Studiați convergența șirului și determinați limita sa, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătați prin inducție că an>0a_n > 0 pentru orice nn și că an+1≤ana_{n+1} \leq a_n, demonstrând că șirul este descrescător și mărginit inferior.\n
23 puncte
Considerați limita LL și rezolvați ecuația L=log⁡2(L+1)L = \log_2(L + 1), observând că L=1L=1 este o soluție (ecuația 2L=L+12^L = L + 1 are soluția unică L=1L=1, deoarece funcția f(L)=2L−L−1f(L)=2^L - L - 1 este strict crescătoare pentru L≥0L \geq 0).\n
33 puncte
Folosiți teorema convergenței pentru șiruri monotone și mărginite pentru a concluziona că șirul converge la L=1L=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.