MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitate
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=3ana_{n+1} = 3^{a_n} pentru orice n≥1n \ge 1. Să se studieze monotonia șirului și să se determine limita șirului, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se arată prin inducție matematică că șirul este strict crescător. Pentru n=1n=1, a2=32=9>2=a1a_2 = 3^2 = 9 > 2 = a_1. Presupunem că an+1>ana_{n+1} > a_n; atunci an+2=3an+1>3an=an+1a_{n+2} = 3^{a_{n+1}} > 3^{a_n} = a_{n+1}, deci șirul este strict crescător.
24 puncte
Dacă șirul are limită finită LL, trecând la limită în relația de recurență se obține L=3LL = 3^L. Se consideră ecuația 3L−L=03^L - L = 0 și funcția f(L)=3L−Lf(L) = 3^L - L, care este continuă. Se observă că f(0)=1>0f(0)=1>0, f(1)=2>0f(1)=2>0, f(2)=7>0f(2)=7>0, iar pentru LL mare, 3L3^L crește mai rapid decât LL, deci ecuația nu are soluție finită. Astfel, șirul nu are limită finită.
33 puncte
Deoarece șirul este strict crescător și nemărginit superior (din pașii anteriori), rezultă că lim⁡n→∞an=+∞\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.