MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitate
Se consideră șirul (xn)(x_n) definit prin xn+1=xn+2x_{n+1} = \sqrt{x_n + 2}, cu x1=0x_1 = 0. Să se arate că șirul este crescător și mărginit, apoi să se calculeze limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați prin inducție că șirul este mărginit: arătați că xn<2x_n < 2 pentru orice nn. Pentru n=1n=1, x1=0<2x_1=0<2. Presupunem xn<2x_n < 2, atunci xn+1=xn+2<2+2=2x_{n+1} = \sqrt{x_n + 2} < \sqrt{2+2} = 2, deci adevărat.
23 puncte
Demonstrați că șirul este crescător: arătați că xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n. Pentru n=1n=1, x2=0+2=2>0=x1x_2 = \sqrt{0+2} = \sqrt{2} > 0 = x_1. Presupunem xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n, atunci xn+2=xn+1+2≥xn+2=xn+1x_{n+2} = \sqrt{x_{n+1} + 2} \geq \sqrt{x_n + 2} = x_{n+1}, deci prin inducție este crescător.
32 puncte
Deoarece șirul este crescător și mărginit, este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=L+2L = \sqrt{L + 2}.
42 puncte
Rezolvați ecuația L=L+2L = \sqrt{L + 2}. Ridicați la pătrat: L2=L+2L^2 = L + 2, deci L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Soluțiile sunt L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Cum xn≥0x_n \geq 0 pentru toți nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.