MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm șirul de numere reale (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=3an+2na_{n+1} = 3a_n + 2^n pentru orice n≥1n \geq 1. Determinați formula explicită pentru ana_n și calculați suma S=a1+a2+⋯+a10S = a_1 + a_2 + \dots + a_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem recurența sub forma an+1−3an=2na_{n+1} - 3a_n = 2^n. Căutăm o soluție particulară de tipul anp=A⋅2na_n^p = A \cdot 2^n. Înlocuind în recurență, obținem A⋅2n+1−3A⋅2n=2nA \cdot 2^{n+1} - 3A \cdot 2^n = 2^n, de unde 2A−3A=12A - 3A = 1, adică A=−1A = -1. Astfel, anp=−2na_n^p = -2^n.
24 puncte
Soluția omogenă a recurenței an+1−3an=0a_{n+1} - 3a_n = 0 este anh=B⋅3na_n^h = B \cdot 3^n. Termenul general devine an=B⋅3n−2na_n = B \cdot 3^n - 2^n. Folosind condiția inițială a1=1a_1 = 1, avem B⋅3−2=1B \cdot 3 - 2 = 1, deci B=1B = 1. Așadar, an=3n−2na_n = 3^n - 2^n.
33 puncte
Calculăm suma S=∑k=110(3k−2k)=∑k=1103k−∑k=1102k=3(310−1)3−1−2(210−1)2−1=3(59049−1)2−2(1024−1)=3⋅590482−2⋅1023=88572−2046=86526S = \sum_{k=1}^{10} (3^k - 2^k) = \sum_{k=1}^{10} 3^k - \sum_{k=1}^{10} 2^k = \frac{3(3^{10} - 1)}{3-1} - \frac{2(2^{10} - 1)}{2-1} = \frac{3(59049 - 1)}{2} - 2(1024 - 1) = \frac{3 \cdot 59048}{2} - 2 \cdot 1023 = 88572 - 2046 = 86526.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.