MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Considerăm șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin xn=∫01tne−t dtx_n = \int_0^1 t^n e^{-t} \, dt. Studiați monotonia șirului și determinați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru orice n≥1n \geq 1, se compară integranzii: pentru t∈(0,1)t \in (0,1), avem tn+1e−t<tne−tt^{n+1} e^{-t} < t^n e^{-t}, deoarece tn+1<tnt^{n+1} < t^n și e−t>0e^{-t} > 0. Integrând pe [0,1][0,1], se obține xn+1=∫01tn+1e−t dt<∫01tne−t dt=xnx_{n+1} = \int_0^1 t^{n+1} e^{-t} \, dt < \int_0^1 t^n e^{-t} \, dt = x_n, deci șirul (xn)(x_n) este strict descrescător.
23 puncte
Se mărginește șirul: pentru t∈[0,1]t \in [0,1], 0≤tne−t≤tn0 \leq t^n e^{-t} \leq t^n, deci 0≤xn≤∫01tn dt=1n+10 \leq x_n \leq \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1}. Astfel, (xn)(x_n) este mărginit inferior de 00 și superior de 1n+1\frac{1}{n+1}.
33 puncte
Deoarece (xn)(x_n) este descrescător și mărginit, este convergent. Din 0≤xn≤1n+10 \leq x_n \leq \frac{1}{n+1} și lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, prin teorema cleștelui, rezultă lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.