MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii Geometrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=∑k=1nk2ka_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{2^k}. Studiați convergența șirului și, în caz de convergență, calculați limita sa folosind proprietăți ale șirurilor și ale seriilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se arată că șirul este crescător, deoarece an+1−an=n+12n+1>0a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}} > 0 pentru orice n≥1n \geq 1.
23 puncte
Se demonstrează că șirul este mărginit superior. Pentru k≥1k \geq 1, avem k≤k\sqrt{k} \leq k, deci an≤∑k=1nk2ka_n \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}. Seria ∑k=1∞k2k\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} converge (de exemplu, prin criteriul raportului), deci sumele parțiale sunt mărginite.
33 puncte
Fiind crescător și mărginit, șirul este convergent. Limita sa este lim⁡n→∞an=∑k=1∞k2k\lim_{n \to \infty} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{2^k}, care converge absolut deoarece k2k≤k2k\frac{\sqrt{k}}{2^k} \leq \frac{k}{2^k} pentru kk suficient de mare și seria ∑k2k\sum \frac{k}{2^k} converge. Valoarea exactă a sumei nu se cere, doar existența ei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.