MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitate
Se consideră șirul (xn)(x_n) definit recursiv prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Arătați că șirul este monoton și mărginit, apoi calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se demonstrează prin inducție că șirul este crescător. Pentru n=1n=1, x2=3>1=x1x_2 = \sqrt{3} > 1 = x_1. Presupunem xn>xn−1x_{n} > x_{n-1} și arătăm că xn+1>xnx_{n+1} > x_n, folosind că funcția f(x)=2+xf(x) = \sqrt{2+x} este crescătoare.
23 puncte
Se arată că șirul este mărginit superior. Prin inducție, se demonstrează că xn<2x_n < 2 pentru orice nn. Pentru n=1n=1, x1=1<2x_1=1<2. Presupunem xn<2x_n < 2, atunci xn+1=2+xn<2+2=2x_{n+1} = \sqrt{2+x_n} < \sqrt{2+2} = 2.
33 puncte
Deoarece șirul este crescător și mărginit superior, este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, de unde L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Soluțiile sunt L=2L=2 și L=−1L=-1. Cum toți termenii sunt pozitivi, L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.