MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematică
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit recursiv: x1=1x_1 = 1, xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție că xn<2x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1 și calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că xn<2x_n < 2 pentru orice nn. Pasul de bază: x1=1<2x_1 = 1 < 2. Pasul inductiv: presupunând xn<2x_n < 2, avem xn+1=2+xn<2+2=2x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2, deci proprietatea se menține.
23 puncte
Se arată că șirul este crescător. Comparăm xn+1x_{n+1} și xnx_n: xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Se studiază funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x pe intervalul [1,2)[1,2), constatând că f(x)≥0f(x) \geq 0, deci xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n.
32 puncte
Din monotonie și mărginire (șirul este crescător și mărginit superior de 2), șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, trecând la limită, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}.
42 puncte
Rezolvăm ecuația L=2+LL = \sqrt{2 + L}, adică L2=2+LL^2 = 2 + L, deci L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L = 2 și L=−1L = -1. Cum xn>0x_n > 0 pentru orice nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.