MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăSisteme de Ecuații Neliniare
Într-o urnă se află aa bile albe și bb bile negre. Se extrag două bile simultan. Probabilitatea ca ambele bile extrase să fie albe este 16\frac{1}{6}, iar probabilitatea ca exact una dintre bile să fie albă este 12\frac{1}{2}. Determinați numerele aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definim variabilele și scriem probabilitățile folosind combinări. Probabilitatea ca ambele să fie albe: P(A)=Ca2Ca+b2=a(a−1)(a+b)(a+b−1)=16P(A) = \frac{C_a^2}{C_{a+b}^2} = \frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)} = \frac{1}{6}. Probabilitatea ca exact una albă: P(B)=a⋅bCa+b2=2ab(a+b)(a+b−1)=12P(B) = \frac{a \cdot b}{C_{a+b}^2} = \frac{2ab}{(a+b)(a+b-1)} = \frac{1}{2}.
22 puncte
Notăm n=a+bn = a+b. Obținem sistemul de ecuații: a(a−1)n(n−1)=16\frac{a(a-1)}{n(n-1)} = \frac{1}{6} și 2a(n−a)n(n−1)=12\frac{2a(n-a)}{n(n-1)} = \frac{1}{2}.
34 puncte
Din prima ecuație: 6a(a−1)=n(n−1)6a(a-1) = n(n-1). Din a doua: 4a(n−a)=n(n−1)4a(n-a) = n(n-1). Egalam: 6a(a−1)=4a(n−a)6a(a-1) = 4a(n-a). Presupunem a≠0a \neq 0 (altfel probabilitățile nu au sens), deci împărțim prin 2a2a: 3(a−1)=2(n−a)3(a-1) = 2(n-a), deci 3a−3=2n−2a3a-3 = 2n-2a, adică 5a−2n=35a - 2n = 3. Exprimăm n=5a−32n = \frac{5a-3}{2}. Înlocuim în 6a(a−1)=n(n−1)6a(a-1) = n(n-1).
42 puncte
Substituim: 6a(a−1)=(5a−32)(5a−32−1)=(5a−3)(5a−5)46a(a-1) = \left(\frac{5a-3}{2}\right) \left(\frac{5a-3}{2} - 1\right) = \frac{(5a-3)(5a-5)}{4}. Multiplicăm cu 4: 24a(a−1)=(5a−3)(5a−5)24a(a-1) = (5a-3)(5a-5). Dezvoltăm: 24a2−24a=25a2−40a+1524a^2 - 24a = 25a^2 -40a +15. Aducem totul într-o parte: 0=a2−16a+150 = a^2 -16a +15. Rezolvăm ecuația pătratică: a2−16a+15=0a^2 -16a +15=0, cu soluțiile a=1a=1 sau a=15a=15. Pentru a=1a=1, n=5⋅1−32=1n = \frac{5 \cdot 1 -3}{2} =1, deci b=0b=0, dar atunci extragerile nu sunt posibile (nu putem extrage două bile dacă n=1n=1). Pentru a=15a=15, n=5⋅15−32=36n = \frac{5 \cdot 15 -3}{2} =36, deci b=n−a=36−15=21b = n-a =36-15=21. Verificăm: P(A)=C152C362=105630=16P(A) = \frac{C_{15}^2}{C_{36}^2} = \frac{105}{630} = \frac{1}{6} și P(B)=15⋅21C362=315630=12P(B) = \frac{15 \cdot 21}{C_{36}^2} = \frac{315}{630} = \frac{1}{2}. Soluția este a=15a=15, b=21b=21.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.