Probleme de Probabilități — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 711 probleme cu rezolvări complete
Teorie Probabilități — Formule si exemple rezolvate

Probabilitățile studiază șansa de producere a evenimentelor aleatoare. Include probabilități clasice, condiționare și formula lui Bayes, cu aplicații practice frecvente la BAC.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

180

probleme

Mediu

231

probleme

Greu

2

probleme

Grile de Probabilități

298 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definește variabila aleatoare XX pentru câștigul net: XX ia valorile 9595 lei (câștig brut 100 lei minus cost 5 lei), 4545 lei (câștig brut 50 lei minus cost 5 lei), și −5-5 lei (niciun câștig, pierdere de 5 lei).
24 puncte
Calculează valoarea medie E(X)E(X) folosind formula: E(X)=∑xiP(X=xi)=95⋅0.01+45⋅0.05+(−5)⋅0.94E(X) = \sum x_i P(X = x_i) = 95 \cdot 0.01 + 45 \cdot 0.05 + (-5) \cdot 0.94.
32 puncte
Efectuează calculele: E(X)=0.95+2.25−4.7=−1.5E(X) = 0.95 + 2.25 - 4.7 = -1.5 lei.
42 puncte
Interpretare: Valoarea medie negativă indică că, pe termen lung, jucătorul pierde în medie 1.5 lei per bilet, deci jocul nu este echitabil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se definește variabila aleatoare X∼Binomial(50;0,02)X \sim \text{Binomial}(50; 0,02). Probabilitatea cerută este P(X≤2)=∑k=02C50k(0,02)k(0,98)50−kP(X \leq 2) = \sum_{k=0}^{2} C_{50}^k (0,02)^k (0,98)^{50-k}.
23 puncte
Pentru aproximarea Poisson, se ia λ=50×0,02=1\lambda = 50 \times 0,02 = 1. Atunci Y∼Poisson(1)Y \sim \text{Poisson}(1) și P(Y≤2)=e−1∑k=021kk!=e−1(1+1+12)P(Y \leq 2) = e^{-1} \sum_{k=0}^{2} \frac{1^k}{k!} = e^{-1} \left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right).
32 puncte
Se calculează valorile: P(X≤2)≈C500(0,98)50+C501(0,02)(0,98)49+C502(0,02)2(0,98)48≈0,3642+0,3716+0,1858=0,9216P(X \leq 2) \approx C_{50}^0 (0,98)^{50} + C_{50}^1 (0,02)(0,98)^{49} + C_{50}^2 (0,02)^2 (0,98)^{48} \approx 0,3642 + 0,3716 + 0,1858 = 0,9216 (valori aproximative). P(Y≤2)=e−1×2,5≈0,3679×2,5=0,9198P(Y \leq 2) = e^{-1} \times 2,5 \approx 0,3679 \times 2,5 = 0,9198.
42 puncte
Comparație: Ambele probabilități sunt apropiate, cu o diferență mică, confirmând că aproximarea Poisson este bună pentru nn mare și pp mic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea distribuției binomiale: n=5n=5 (mărimea eșantionului), p=0.6p=0.6 (probabilitatea de susținere), k=3k=3 (numărul dorit de susținători).
24 puncte
Aplicarea formulei probabilității binomiale: P(X=3)=C53⋅(0.6)3⋅(0.4)2P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{2}.
33 puncte
Calculul: C53=10C_5^3 = 10, (0.6)3=0.216(0.6)^3 = 0.216, (0.4)2=0.16(0.4)^2 = 0.16, deci P(X=3)=10⋅0.216⋅0.16=0.3456P(X=3) = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456.
41 punct
Exprimarea rezultatului: Probabilitatea este 0.34560.3456 sau aproximativ 34.56%34.56\%.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiți variabila aleatoare X∼N(50,22)X \sim N(50, 2^2) și standardizați pentru intervalele date: Z=X−502Z = \frac{X - 50}{2}. Apoi, P(X<48)=P(Z<−1)P(X < 48) = P(Z < -1) și P(X>52)=P(Z>1)P(X > 52) = P(Z > 1).
23 puncte
Folosiți simetria distribuției normale: P(Z<−1)=P(Z>1)=1−P(Z<1)P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1). Din informația dată, P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, deci P(Z>1)≈1−0.8413=0.1587P(Z > 1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587.
34 puncte
Probabilitatea totală de defect este suma: P(defect)=P(X<48)+P(X>52)=0.1587+0.1587=0.3174P(\text{defect}) = P(X < 48) + P(X > 52) = 0.1587 + 0.1587 = 0.3174. Convertiți la procent: 0.3174×100%=31.74%0.3174 \times 100\% = 31.74\%.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5ProbabilitățiMatematică aplicatăCombinatorică
Într-un lot de 100 de produse, 5 sunt defecte. Se aleg la întâmplare 3 produse fără revenire. Calculați probabilitatea ca exact un produs să fie defect. Apoi, determinați probabilitatea ca cel puțin un produs să fie defect.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Numărul total de moduri de a alege 3 produse din 100: (1003)=100×99×986=161700\binom{100}{3} = \frac{100 \times 99 \times 98}{6} = 161700.
23 puncte
Numărul de moduri de a alege exact un produs defect: Alegem 1 defect din 5 și 2 nedefecte din 95: (51)(952)=5×95×942=5×4465=22325\binom{5}{1} \binom{95}{2} = 5 \times \frac{95 \times 94}{2} = 5 \times 4465 = 22325.
32 puncte
Probabilitatea pentru exact un defect: P=(51)(952)(1003)=22325161700=446532340≈0.138P = \frac{\binom{5}{1} \binom{95}{2}}{\binom{100}{3}} = \frac{22325}{161700} = \frac{4465}{32340} \approx 0.138.
43 puncte
Probabilitatea pentru cel puțin un defect: Folosind regula complementului, probabilitatea niciun defect: (953)(1003)=138415161700≈0.856\frac{\binom{95}{3}}{\binom{100}{3}} = \frac{138415}{161700} \approx 0.856, deci P(cel puțin un)=1−0.856=0.144P(\text{cel puțin un}) = 1 - 0.856 = 0.144.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6ProbabilitățiCombinatorică
Într-un depozit, 10% dintre produse sunt defecte. Se aleg la întâmplare 5 produse pentru control. Care este probabilitatea ca exact 2 produse să fie defecte? Dacă se știe că cel puțin un produs este defect, care este probabilitatea ca exact două să fie defecte?
Mediu#7ProbabilitățiMatematică aplicată
Un fabricant produce componente electronice. Probabilitatea ca o componentă să fie defectă este p=0.02p = 0.02. Se testează un lot de n=100n = 100 de componente. Folosind aproximarea cu distribuția Poisson, calculați probabilitatea ca cel mult 3 componente să fie defecte.
Mediu#8ProbabilitățiStatistică descriptivăMatematică aplicată
Înălțimile bărbaților adulți într-o țară sunt distribuite normal cu media de 175 cm și abaterea standard de 10 cm. Ce procentaj dintre bărbați au înălțimi între 165 cm și 185 cm? Dacă se ia un eșantion de 100 de bărbați, care este probabilitatea ca media înălțimii eșantionului să fie mai mare de 177 cm?
Ușor#9ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un proces de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este p=0.03p = 0.03. Se selectează aleatoriu n=20n = 20 de articole. Fie XX variabila aleatoare care reprezintă numărul de articole defecte. Calculați: a) Probabilitatea ca exact 33 articole să fie defecte. b) Probabilitatea ca numărul de articole defecte să fie între 11 și 44, inclusiv. c) Valoarea medie E(X)E(X) și dispersia Var(X)Var(X).
Ușor#10ProbabilitățiCombinatorică
Într-un lot de 200200 de becuri, probabilitatea ca un bec să fie defect este de 0.050.05. Se aleg la întâmplare 1010 becuri. Calculați probabilitatea ca exact 22 becuri să fie defecte.

Și alte 403 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Accesează toate cele 711 probleme de Probabilități cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Arii și volume
419 probleme
→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații iraționale
340 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.