MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmi
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=1+ln⁡(xn)x_{n+1} = 1 + \ln(x_n) pentru orice n≥1n \ge 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm prin inducție că xn>1x_n > 1 pentru orice n≥1n \ge 1.
23 puncte
Arătăm că șirul este descrescător: xn+1−xn=ln⁡(xn)−ln⁡(xn−1)x_{n+1} - x_n = \ln(x_n) - \ln(x_{n-1}), iar folosind monotonia funcției logaritm, deducem xn+1<xnx_{n+1} < x_n.
32 puncte
Deoarece șirul este descrescător și mărginit inferior, este convergent.
43 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență, avem L=1+ln⁡LL = 1 + \ln L. Rezolvând, obținem L=1L=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.